공부 일지_2020.1.31

이 글은 정보 전달이 아닌, 개인적으로 공부하고 배운 내용을 정리하여 피드백을 주고 받기 위한 목적으로 작성되었습니다. 그러므로 정확하지 않은 정보 및 생각들이 난무할 수 있음을 유의해주세요.

참고자료

• 선형대수와 군(이인석 교수 저)
  
• wikipedia_vector space

벡터 공간의 axiom의 표현

선형대수와 군 책에서 벡터 공간의 정의를 접했을 때, 정의를 구성하는 axiom(집합이 벡터공간이 되기 위해 만족해야 하는 8가지 연산 규칙)들 중에서 덧셈의 항등원, 덧셈의 역원에 관한 규칙 두 가지가 정확한 해석에 있어서 헷갈렸다.

선대 군 책에서 나와있는 두 규칙의 설명을 옮겨적으면, 다음과 같다.

3. [모든 $v \in V$에 대해 $v + 0 = v$]인 $0 \in V$ 존재 (덧셈의 항등원)
4. $v \in V$이면, $v+(-v) = 0$인 $-v \in V$존재(덧셈의 역원)

위 두 가지 항목에 대해 책은 또한 다음과 같이 서술하고 있다.

인용문1) 위 (V3)(위 리스트에서 3번 항목을 말한다)에서 $0 \in V$는 $v \in V$의 선택과는 무관한 것이고, (V4)(4번 항목을 말한다)의 $(-v)$는 v에 따라 결정되는 vector이다.

위 리스트의 항목을 그냥 (V3), (V4)로 말하겠다.

나는 인용문1에서 언급한 차이점을 (V3)과 (V4)에서 명확히 찾으려고 노력했다.
차이점이 발생할 수 있는 유일한 지점은 (V3)의 경우, "모든 $v \in V$에 대해"이고, 거기에 비교되는 (V4)의 경우, "$v \in V$이면"이다.

그런데, 뭔가 쉽지 않다. 둘 사이에는 어떤 차이점이 있는걸까? 물론 별것 아닐 수도 있겠지만.. 나한텐 심각한 질문이다;;ㅠㅠ
일단 다음에서 내 나름으로 가능할 것 같은 명제들을 세워봤다.

• 명제 1번) (V4)에서 "$v \in V$이면"에서 V를 예컨대.. {$v_1, v_2, ..., v_n$}이라고 가정해보자. 그러면 v는 총 n가지의 경우를 갖게 된다. 이 때, (V4)에서 "$v \in V$이면"이 참일 경우 검토되는(?) 부분은 "$v + (-v) = 0$인 $-v \in V$ 존재"라는 나머지 뒷 내용일 것이다. 즉, v가 이 항목에서처럼 n개의 경우를 가질 수 있을 경우에, 전체 조건문 (V4)도 n번의 검토를 모두 거친 후 모든 경우에 대해 참으로 판정나야 어떤 대상이 조건을 만족시키는 것으로 역시 판정할 수 있다.


• 명제 2번) (V4)에서 가장 중요한 것은 "$-v \in V$"이다. 실제로 영어로 표현된 정의에서는 이 부분이 먼저 등장한다. 그 후 질문할 수 있는 것은, "-v가 무엇인가?"이다. 이에 대한 답이 "$v + (-v) = 0$"이다. 그 다음으로 물을 수 있는 것은 "v가 무엇인가?"이다. 이에 대한 답은 "$v \in V$"이다.

아.. 정말로 모르겠다. 사실 명제 1번, 명제 2번 모두 정말로 아닐 확률이 80%로 느껴진다. 하지만 가장 큰 문제점은, 그 명제들을 어떻게 반박하고, 아님을 증명할 수 있는지 모르겠다는 것이다..ㅠㅠ 조금 허술해도 괜찮으니, 어느 누구라도 이 글을 본다면 이 명제들에 대해 나름의 의견을 주었으면 한다. 그 의견들은 내가 (V3)과 (V4)의 차이점을 명확하게 이해하는데 큰 도움이 될 것이다..