공부일지: 데카르트 좌표계(cartesian coordinate system)을 읽다가..

이 글은 정보 전달이 아닌, 개인적으로 공부하고 배운 내용을 정리하여 피드백을 주고 받기 위한 목적으로 작성되었습니다. 그러므로 정확하지 않은 정보 및 생각들이 난무할 수 있음을 유의해주세요.

오늘의 주제: cartesian coordinate system

<나는 왜 이 주제를 업로드하는가?>

 

• ocw 강의를 듣는데, 자꾸 Gilbert Strang 교수님이 칠판에 x-y 평면을 그리신다.
• 이전부터 데카르트 좌표계(cartesian coordinate system)의 발명이 얼마나 위대한 것인지 잘 와닿지 않았다.

이 글을 작성하는 데는 wikipedia_cartesian coordinate system을 참고했다. 딱 한 문장을 참고했는데, 그건 바로...

 

"A Cartesian coordinate system is a coordinate system that specifies each point uniquely in a plane by a set of numerical coordinates, which are the signed distances to the point from two fixed perpendicular oriented lines, measured in the same unit of length."

 

그 중에서도 밑줄 친 부분만 참고했다..! 왜냐면 그 부분이 가장 인상깊었다. 그래서 그 부분의 문장 구조(?)를 분석해봤다.

 

perpendicular라는 것은 찾아보니 '직교'를 뜻한다. 글에서는 'lines'에다가 'perpendicular'와 'oriented'라는 수식어를 붙였다. 물론, 'fixed'라는 수식어도 있지만, 그 부분은 이 글에서는 논외로 하려한다.

 

그 다음으로, "distances"라는 표현에는 'signed'라는 수식어가 붙었다. 사실 글을 적기전 생각을 정리해봐도, 이 signed라는 표현이 뭔가 독특한 감이 오기는 하지만, 그마저도 아주 흐릿해서, 뭐라고 말로 정리하기가 힘들다. 그래서 이부분도 논외로 하려한다.

 

아무튼, 그래서 나의 질문은 다음으로 정리할 수 있다.

 

• 질문1) 두 개의 oriented lines는 왜 직교(perpendicular)해야 하는가? 만약에 직교하지 않는다면 어떤 일이 발생할까..?
• 질문2) 글에서 언급된 oriented line을 축(axis)라고 표현해도 될까?(우선, 이 부분은 참이라고 가정하고 글을 이어나가려고 한다.)
• 질문3) 두 개 이상의 축이 존재할 때(각각 axis1, axis2라 하겠다), axis1과 axis2의 값이 모두 0이 되는 지점을 교차하게 만들면, 직선간의 각도가 어떻든 어쨌든 평면이 생성될 것이다. 만약, 그 평면에 임의의 점 P를 잡는다면, P의 값은 axis1에 대한 값도 있을 것이고, axis2에 대한 값도 있을 것이다. 그 각각의 값들은 어떻게(음.. 아마도 기하학적인 방법으로) 추론할 수 있을까?

질문 3이 내가 가장 궁금한 것인데, 그냥 중학교 때 배우는 흔한 좌표평면을 그려보면 다음과 같을 것이다.

 

 

 

 

그리고 그 때 어떤 점의 각 축에 대한 값들을 찾을 때, 학교 선생님들은 흔히 다음과 같이 설명했다.

 

 

 

 

위 이미지는 P의 좌표값을 찾기 위해 각 축(axis1, axis2)에 수선의 발(각각 H1, H2)를 내렸다. 두 개의 축 모두 그 위에 있는 점에 대응하는 값들이 존재한다. 따라서, H1에 대응하는 값을 찾으면, 그것이 P의 axis1에 대한 값이 되고, H2에 대응하는 값을 찾으면, 그것이 P의 axis2에 대한 값이 된다.

 

여기서 질문이 또 생겨난다..

 

좌표평면에서 왜 어떤 점의 좌표값을 찾기 위해 반드시 그 축에 수선의 발을 내려야 하는 걸까? 뭔가 되게 쓸데없는 질문인 것 같기도 하지만.. 좀 비스듬히 그어서 좌표값을 찾으면 안되나(...)하는 생각이 든다.

 

그리고 그 다음으로는 이런 질문도 생겨난다...

 

평면상에서 예컨대 역시 바로 위 그림에서, P를 axis1 축에 평행하게 움직이면, axis2값은 변하지 않는다. 나는 뭔가 P의 기하학적 변화가 분명 있음에도 불구하고, 어떤 축에 대해서는 전혀 변화가 없을 수 있다는게 신기하다. 근데 나는 신기한데, 이게 다른 사람도 공감할 수 있는 신기함인지는 모르겠다 ㅠㅠ

 

바로 위 질문은 사실 다음과 같은 상황에서 P의 움직임이 axis1과 axis2에 어떤 변화의 영향을 미치는지..어떻게 파악할 수 있을까?라는 궁금증으로 이어졌다.

 

다음과 같은 상황이란, 바로.. 두 좌표축이 직교하지 않는 경우를 말한다.

 

 

 

 

바로 위의 이미지와 같은 경우, P의 움직임이 존재하되, axis2에는 값의 변화가 없도록 할려고 하면 어떻게 해야 될까? 그런 것도 궁금하다.

 

아무튼 이것으로 포스팅을 마무리하려고 한다.