[수학] 공부일지 2020_1_27

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참고자료

• 선형대수와 군(이인석 교수 저)
• wikipedia_vector space

첫째: 연산을 함수로 생각한다는 것

함수 또는 대응에 대한 (나의) 일반적 의문들..

<선형대수와 군>책을 보니, vector space에 정의된 스칼라 곱셈을 함수 \(F \times V \rightarrow V\)(단, F는 field (scalar들의 집합, V는 집합)으로 이해하자는 것을 보았다.

그 문구는 내게 꽤나 흥미로웠다.

어렸을 때 배우던 사칙연산도 대응의 일종인 함수로 생각할 수 있음을 처음으로 알았을 때 참 신기하고 놀라웠던 것 같다.
사실 이전까지는 연산보다는 함수가 나의 흥미를 끌었기 때문에, 두 수학적 개념(?)의 호환(?)은 연산에 대한 호기심도 같이 끌어올렸다.

어렸을 땐 문제풀이를 위해 함수에 대한 아주 기초적인 의문도 무시하고 지나가야 했지만, 지금으로선 위에 언급된 스칼라 곱셈에 대응하는 함수의 표현에도 여러 기초적인 의문들이 떠오르고, 좀 더 알고 싶은 욕구가 생긴다.

예컨대, \(F \times V\)는 정의역, V는 공역임을 이전의 지식으로 알 수 있다.
그런데.. 함수에서 정의역, 공역, 치역이 의미하는 바, 또는 지니는 가치에 대해 거의 아는 바가 없다. 정의역, 공역, 치역과 같은 개념은 왜 함수에 있어서 필수적으로 등장하는 개념이 됐을까?

그리고 대응하는(?) 것들의 집합은 공역,치역으로 나누어 생각하는데, 정의역은 왜 그보다 작은 부분집합을 생각하지 않는걸까?

이런건 굳이 vector space의 연산이 아니더라도, 일반적으로 모든 함수에 대해 떠올릴 수 있는 질문일 것이다.

뿐만 아니라 함수를 독립적으로 존재할 수 있는 것으로 생각할 수 있을까?
예를 들어 다음과 같이 표기되는 함수를 가정해보면...

\[f(x)= x^2 + 2x+ 3\]

우리는 x에 여러 다른 값들을 집어 넣을 수가 있다. 또 경우에 따라 다른 결과값이 도출될 것이다. 예컨대...

\[f(x_1) = x_1^2 + 2x_1 + 3 = y_1 \]
\[f(x_2) = x_2^2 + 2x_2 + 3 = y_2 \]

\(x_1\)과 \(x_2\)가 무엇에 대응되는지 각각 대응관계를 표기해보면,

\[x_1 \rightarrow y_1 \]
\[ x_2 \rightarrow y_2 \]

그런데, 첫 줄과 둘째 줄의 '대응'을 우리는 동일하다고 판단한다. 왜 그렇게 판단할 수 있는 걸까?
\(x_1\)에서 \(x_2\)로 argument도 달라졌고, \(y_1\)에서 \(y_2\)로 결과값도 달라졌는데, 동일한 대응이 존재한다고 판단할 수 있는 것은 뭔가 내겐 오묘한 사실이었다.

함수를 포함하는 '대응'이라는 것이 만약 어떤 독립적인 존재로 규명할 수 있다면, 이 판단을 설명하기가 용이해질 것이라는 생각도 들었다.

그런데 함수를 어떻게 독립적인 존재로 규명할 수 있을까?

선형대수와 군 책에서는 -아직 나는 2장을 보고 있지만..ㅠ- 5장에 들어서면 "행렬과 선형사상이 같은 것"임을 알 수 있다고 말한다. 선형사상도 대응의 일종이니, 모든 대응을 아우를 수는 없어도, 적어도 선형사상에 대한 정체를 아는데는 뭔가 선형대수학이 도움이 될 것 같다는..느낌이 든다.

마지막으로 그것도 궁금하다. 나는 함수랑 사상이 같은 건 줄 알았는데, 위키피디아에는 독립된 문서로 분류돼있었다..! 나의 영어 실력이 미흡한 관계로 훑어볼 엄두를 못냈지만, 조만간 function, mapping, morphism 문서를 찬찬히 읽어보고 싶다!

헛소리

위키피디아_폰 노이만 문서를 읽다가 "연산자 이론"(...)이라는 것을 봤다. 단지 '연산'이 들어가있는 것 하나 만으로도 공부하고 싶은 욕구가 생겼다. 물론 진짜 연산과 관련있는 건지는 진짜로 전혀 모른다. 그것도 나중에 문서를 읽어봐야지^{^}

곱집합이란 무엇일까??

영어 표현으로는.. "Cartesian product"라고 하는 듯하다. 이 문서를 읽는 것도 내 목표 중의 하나이다.

곱집합의 원소에 대해서..

집합 X, Y 각각의 원소 \(x \in X\), \(y \in Y\)에 대해서 \(X \times Y\)의 원소는 (x,y)로 흔히 표기되는 듯하다. 그런데 (x,y)는 순서쌍이다. 순서쌍은 어떻게 해석될 수 있을까? 혹시 순서쌍에 대해 생각 가능한 성질들이 곱집합의 원소의 성질도 규정하는데 기여하고, 더 나아가 곱집합의 성질도 어느정도 설명할 수 있지 않을까?

그런데.. 순서쌍이 처음에 영어로 tuple인줄 알았는데, ordered pair인가보다..ㅠ

또 하나의 헛소리:
vector를 물리적으로는 흔히 '방향'이 있다고 표현한다는 것을 들은 바가 있다. '방향'과 '순서'는 어떤 차이와 관계성을 갖고 있으려나...? 또한, 두 개의 방향을 서로 비교할 때 이것들이 다른지 아닌지 어떻게 비교할 수 있는가? 뭔가 기준이 있어야 하지 않을까..?

아주 간단한 마지막 질문

어떤 함수를 정의할 때, 정의역과 공역만을 정의한 것은 함수의 어느 정도만 정의했다고 볼 수 있는 걸까? 예컨대.. 건물을 지을 때, 기반 공사만 한 것이 가지는 의미..? 등도 궁금하다.

아.. 다른 질문들도 많은데 솔직히 타이핑하기 힘들다. 일단 오늘은 여기서 마무리해야지^{^}