actual infinite와 virtual infinite 차이가 궁금하다

a book of set theory 책에서는..

(...) between the "actual" infinite -in which infinitely many objects are conceived of as existing simultaneously- and the "virtual" infinite, which is simply the potential to exceed any given finite quantity.

 

'actual' infinite를 떠올리는 것은 아마도.. 'existing simultaneously'라는 부분의 해석이 관건인 것 같다. 이를 위해서 다수의 대상들(objects)이 동시에(simultaneously) 존재하는 상황을 떠올려보지만, 사실 '동시에'라는 단어는 참 모호한 말이다.

 

'virtual' infinite는 한정된 양(finite quantity)을 가지고 더 확장시키거나 늘려가는 그림이 떠오르지만, 이 역시 모호하다. 'exceed'의 정확한 해석이 관건인 것 같다.

 

사실 이 둘의 차이를 보다 분명히 알고 싶은 것은, 책의 맥락을 이해하는데 도움이 되기 때문이다.

 

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[책의 맥락]

 

우선, 제논의 역설으로부터..

"무한하게 많은 수로 존재하며 그 값이 0이 아닌 다수의 길이(infinitely many nonzero lengths)"가 서로 더해져서 유한한 길이(finite quantity)를 만들 수 있다는 결론이 도출될 수 있다.

 

그리고 이 결론이 지닌 함정을 피하기 위해서 오래 전에 'actual' infinite와 'virtual' infinite의 개념 구분이 만들어졌다.

 

'actual' infinite를 다루는 것이 금기시되던 때가 있었다. 따라서 그 분위기 속에서 집합론의 창시자인 칸토어가 'actual' 맥락에서의 무한 집합(infinite set)을 다뤘던 것은 초기에 잘 받아들여지지 않았다.

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사실 이 맥락은 집합론을 공부하는 초기에는 그렇게 중요하지 않을 수는 있겠지만..

어쨌든 나는 궁금하고, 그래서 그 궁금증을 글로 정리해봤다.